Question

10．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，對角線AC，BD交于點O，OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面ABCD，設點M滿足$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MC}$（λ＞0）．
（1）求當λ為何值時，使得PA∥平面BDM；
（2）當λ=$\frac{1}{2}$時，求直線PA與平面BDM所成角的正弦值；
（3）若二面角M-AB-C的大小為$\frac{π}{4}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）連接OM，當M為PC中點時，PA∥OM，從而得到當λ=1時，PA∥平面BDM．
（2）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線PA與平面BDM所成角的正弦值．
（3）求出平面ABC的一個法向量和平面ABM的法向量，利用向量法能求出結果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）連接OM，當M為PC中點時，
∵四棱錐P-ABCD的底面是菱形，對角線AC，BD交于點O，∴O是AC中點，
∴PA∥OM，
∵PA?平面BDM，OM?平面BDM，
∴求當λ=1時，PA∥平面BDM．
（2）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
A（4，0，0），P（0，0，4），M（-$\frac{4}{3}$，0，$\frac{8}{3}$），B（0，3，0），D（0，-3，0），
$\overrightarrow{DB}$=（0，6，0），$\overrightarrow{DM}$=（-$\frac{4}{3}$，3，$\frac{8}{3}$），
設平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=6y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=-\frac{4}{3}x+3y+\frac{8}{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
設直線PA與平面BDM所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{4\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴直線PA與平面BDM所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（3）平面ABC的一個法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1）．
設M（a，0，b），代入$\overrightarrow{PM}$=$λ\overrightarrow{MC}$，得（a，0，b-4）=λ（-4-a，0，-b），
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4λ}{1+λ}}\\{b=\frac{4}{1+λ}}\end{array}\right.$，即M（$\frac{-4λ}{1+λ}$，0，$\frac{4}{1+λ}$），∴$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{4λ}{1+λ}$，3，$\frac{-4}{1+λ}$），
設平面ABM的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-4x+3y=0}\\{\frac{4λ}{1+λ}x+3y-\frac{4}{1+λ}z=0}\end{array}\right.$，
消去y，得（2λ+1）x=z，令x=1，則z=2λ+1，y=$\frac{4}{3}$，
∴平面ABM的一個法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，$\frac{4}{3}$，2λ+1），
∵二面角M-AB-C的大小為$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{|2λ+1|}{\sqrt{1+\frac{16}{9}+（2λ+1）^{2}}}$，解得$λ=\frac{1}{3}$或$λ=-\frac{4}{3}$，
∵λ＞0，∴λ=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查滿足線面平行的實數的求法，考查線面角的正弦值的求法，考查滿足二面角的大小為$\frac{π}{4}$的實數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．