Question

4．在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．已知圓$ρ=4sin（{θ+\frac{π}{6}}）$被射線θ=θ₀（ρ≥0，θ₀為常數，且${θ_0}∈（{0，\frac{π}{2}}）$）所截得的弦長為2$\sqrt{3}$，求θ₀的值．

Answer 1

分析 由已知可得圓的標準方程為：$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4$，射線直角坐標方程可以設為y=kx，根據射線被圓所截得的弦長為2$\sqrt{3}$，可得k值，進而得到θ₀的值．

解答 解：圓$ρ=4sin（{θ+\frac{π}{6}}）$即$ρ=2\sqrt{3}sinθ+2cosθ$，即${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ+2ρcosθ$
的直角坐標方程為：${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}y+2x$，
即$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4$，
射線θ=θ₀，（θ₀為常數，且${θ_0}∈（{0，\frac{π}{2}}）$）的直角坐標方程可以設為y=kx（x≥0，k＞0），
則圓心到直線的距離d=$\frac{|k-\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
根據題意得：2$\sqrt{4-（\frac{|k-\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即tanθ₀=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，${θ_0}∈（{0，\frac{π}{2}}）$
故θ₀=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．