Question

12．設S_n是數列{a_n}的前n項和，且${a_1}=-1，\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_{n+1}}}}={S_n}$，則S_n=$-\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 $\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}}$=S_n，可得$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=S_n，$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，利用等差數列的通項公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}}$=S_n，∴$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=S_n，化為：$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
∴數列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數列，首項為-1，公差為-1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n，
∴S_n=-$\frac{1}{n}$．
故答案為：$-\frac{1}{n}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．