Question

17．在△ABC中，a、b、c分別是三內角A、B、C對應的三邊，已知b²+c²=a²+bc
（1）求角A的大小；
（2）若2sin²$\frac{B}{2}$=cosC，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，結合范圍A∈（0，π），可求A的值．
（2）利用三角函數恒等變換的應用化簡2sin²$\frac{B}{2}$=cosC，可得sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，結合范圍B∈（0，π），可求
∴B=C=$\frac{π}{3}$，即可判斷三角形的形狀．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）在△ABC中，由余弦定理得b²+c²-a²=2bccosA，又b²+c²=a²+bc，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．                         …（5分）
（2）∵2sin²$\frac{B}{2}$=cosC，
∴cosB+cosC=1，…（7分）
∴cosB+cos（$\frac{2π}{3}$-B）=1，可得：cosB+cos$\frac{2π}{3}$cosB+sin$\frac{2π}{3}$sinB=1，…（9分）
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB=1，可得：sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{3}$，…（11分）
∴△ABC是等邊三角形．…（12分）

點評 本題主要考查了余弦定理，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的形狀，考查了轉化思想，屬于基礎題．