Question

12．已知函數f（x）=$\frac{a}{a-1}$（2^x-2^-x）（a＞0，且a≠1）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性和單調性，并說明理由；
（2）當x∈（-1，1）時，總有f（m-1）+f（m）＜0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性和單調性的定義進行證明即可．
（2）根據函數奇偶性和單調性的關系將不等式進行轉化求解即可．

解答 解：（1）∵f（-x）=$\frac{a}{a-1}$（2^-x-2^x）=-$\frac{a}{a-1}$（2^x-2^-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．…（2分）
設x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=$\frac{a}{a-1}$（${2}^{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-${2}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$）=$\frac{a}{a-1}$（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$），
∵y=2^x是增函數，∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，又1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$＞0，
∴當0＜a＜1時，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函數f（x）是減函數
當a＞1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），函數f（x）是增函數．…（6分）
（2）由f（m-1）+f（m）＜0得f（m）＜-f（m-1）
由（1）知f（x）為奇函數，∴f（m）＜f（1-m） …（8分）
又由（1）得
當0＜a＜1時，函數f（x）是減函數
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞1-m}\\{-1＜m＜1}\\{-1＜1-m＜1}\end{array}\right.$解得$\frac{1}{2}$＜m＜1 …（10分）
當a＞1時，函數f（x）是增函數
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜1-m}\\{-1＜m＜1}\\{-1＜1-m＜1}\end{array}\right.$，解得0＜m＜$\frac{1}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷和應用，利用函數奇偶性和單調性的定義進行證明和轉化是解決本題的關鍵．