Question

9．P是雙曲線C：$\frac{x^2}{2}-{y^2}$=1右支上一點，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F₁是雙曲線C的左焦點，則|PF₁|+|PQ|的最小值為（　　）

• A． 1
• B． $2+\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• C． $4+\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• D． $2\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 依題意，當且僅當Q、P、F₂三點共線，且P在F₂，Q之間時，|PF₂|+|PQ|最小，且最小值為F₂到l的距離，從而可求得|PF₁|+|PQ|的最小值．

解答 解：設右焦點分別為F₂，
∵∴|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|=|PF₂|+2$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|+|PQ|=|PF₂|+2$\sqrt{2}$+|PQ|，
當且僅當Q、P、F₂三點共線，且P在F₂，Q之間時，|PF₂|+|PQ|最小，且最小值為F₂到l的距離，
可得l的方程為y=$±\frac{1}{\sqrt{2}}$x，F₂（$\sqrt{3}，0$），F₂到l的距離d=1
∴|PQ|+|PF₁|的最小值為2$\sqrt{2}$+1．
故選D．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質，利用雙曲線的定義將|PF₁|轉化為|PF₂|+2$\sqrt{2}$是關鍵，考查轉化思想，屬于中檔題．