Question

14．已知數列{a_n}為等差數列，其中a₂+a₃=8，a₅=3a₂．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}中，b₁=1，b₂=2，從數列{a_n}中取出第b_n項記為c_n，若{c_n}是等比數列，求{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，由等差數列的通項公式，可得方程組，解得首項和公差，即可得到所求通項公式；
（2）求得等比數列{c_n}的公比，求得b_n=$\frac{1}{2}$（3^n-1+1），運用數列求和方法：分組求和，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
由a₂+a₃=8，a₅=3a₂，
可得2a₁+3d=8，a₁+4d=3（a₁+d），
解得a₁=1，d=2，
則a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）c₁=a${\;}_{{b}_{1}}$=a₁=1，c₂=a${\;}_{{b}_{2}}$=a₂=3，
則等比數列{c_n}的公比為3，
則c_n=c₁q^n-1=3^n-1，
又c_n=a${\;}_{{b}_{n}}$=2b_n-1，
則b_n=$\frac{1}{2}$（3^n-1+1），
設{b_n}的前n項和為S_n，
則S_n=$\frac{1}{2}$（1+3+…+3^n-1+n）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+n）
=$\frac{{3}^{n}+2n-1}{4}$．

點評 本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列求和方法：分組求和，考查運算能力，屬于中檔題．