Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x}，g（x）=x（{lnx-\frac{ax}{2}-1}）$．
（1）求y=f（x）的最大值；
（2）當(dāng)$a∈[{0，\frac{1}{e}}]$時(shí)，函數(shù)y=g（x），（x∈（0，e]）有最小值． 記g（x）的最小值為h（a），求函
數(shù)h（a）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=$\frac{1-lnx}{x2}$（x＞0），通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最大值即可．
（2）求出g′（x）=lnx-ax=x（$\frac{lnx}{x}$-a），由（1）及x∈（0，e]：通過(guò)①當(dāng)a=$\frac{1}{e}$時(shí)，②當(dāng)a∈[0，$\frac{1}{e}$），分別求解函數(shù)的單調(diào)性與最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{x2}$（x＞0），
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取得最大值f（e）=$\frac{1}{e}$．…（4分）
（2）g′（x）=lnx-ax=x（$\frac{lnx}{x}$-a），由（1）及x∈（0，e]得：
①當(dāng)a=$\frac{1}{e}$時(shí)，$\frac{lnx}{x}$-a≤0，g′（x）≤0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=e時(shí)，g（x）取得最小值g（e）=h（a）=-$\frac{e}{2}$．…（6分）
②當(dāng)a∈[0，$\frac{1}{e}$），f（1）=0≤a，f（e）=$\frac{1}{e}$＞a，
所以存在t∈[1，e），g′（t）=0且lnt=at，
當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（t，e]時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
所以g（x）的最小值為g（t）=h（a）．…（9分）
令h（a）=G（t）=$\frac{tlnt}{2}$-t，
因?yàn)镚′（t）=$\frac{lnt-1}{2}$＜0，所以G（t）在[1，e）單調(diào)遞減，此時(shí)G（t）∈（-$\frac{e}{2}$，-1]．
綜上，h（a）∈[-$\frac{e}{2}$，-1]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．