Question

13．已知函數f（x）的定義域為R，且為可導函數，若對?x∈R，總有（2-x）f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的導函數），則（　　）

• A． f（x）＞0恒成立
• B． f（x）＜0恒成立
• C． f（x）的最大值為0
• D． f（x）與0的大小關系不確定

Answer 1

分析 求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的最大值小于0，從而證出結論

解答 解：設g（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$
∴g′（x）=$\frac{x[（2-x）f（x）+xf′（x）]}{{e}^{x}}$，
∵對?x∈R，總有（2-x）f（x）+xf′（x）＜0成立，
當x＞0時，g′（x）＜0，函數g（x）遞減
當x＜0時，g′（x）＞0，函數g（x）遞增，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$＜0恒成立
∴f（x）＜0恒成立，
故選：B

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，構造函數g（x）是解題的關鍵，本題是一道中檔題．