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3.在三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a2+c2=4ac,三角形的面積為$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}accosB$,則sinAsinC的值為$\frac{1}{4}$.

分析 由已知及三角形面積公式可求tanB=$\sqrt{3}$,結合范圍0<B<π,可求B=$\frac{π}{3}$,由已知及余弦定理可求b2=3ac.由正弦定理可得sin2B=3sinAsinC,從而得解sinAsinC的值.

解答 解:在三角形ABC中,$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}accosB$=$\frac{1}{2}$acsinB,
∴tanB=$\sqrt{3}$,
∵B為三角形內角,
∴0<B<π,
∴B=$\frac{π}{3}$.
∵a2+c2=4ac,
又∵a2+c2=b2+2accosB,
∴b2+2accosB=4ac,
∴b2=3ac.
由正弦定理可得sin2B=3sinAsinC,
∴sinAsinC=$\frac{1}{4}$.
故答案為:$\frac{1}{4}$.

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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