Question

2．已知曲線f（x）=x³-ax+b在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為x-y-1=0．
（I）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（II）求曲線y=f（x）在x=2處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．

Answer 1

分析 （I）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由曲線在x=1處的切線的斜率求得a，再由曲線和直線在x=1處的函數(shù)值相等求得b；
（II）求出曲線y=f（x）在x=2處的切線方程，即可求曲線y=f（x）在x=2處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．

解答 解：（I）由f（x）=x³-ax+b，得y′=3x²-a，
由題意可知y′|_x=1=3-a=1，即a=2．
又當(dāng)x=1時，y=0，
∴1³-1×2+b=0，即b=1．
（II）f（x）=x³-2x+1，f′（x）=3x²-2，
x=2時，f（2）=5，f′（2）=10，
∴曲線y=f（x）在x=2處的切線方程為y-5=10（x-2），即10x-y-15=0，
與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（1.5，0），（0，-15），
∴切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S=$\frac{1}{2}×1.5×15$=$\frac{45}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究在曲線上某點(diǎn)處的切線方程，在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．