Question

4．設$f（x）={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx-\frac{1}{2}（x∈R）$．
（1）求函數f（x）的最小正周期與值域；
（2）設△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A為銳角，$a=2\sqrt{3}，c=4$，若f（A）=1，求A，b．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f （x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）（x∈R），利用正弦函數的性質即可求解．
（2）由題意可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1．由A為銳角，可求2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函數的性質可求A的值，進而利用余弦定理解得b的值．

解答 （本題滿分14分）
解：（1）化簡得：f （x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）（x∈R），
所以最小正周期為π，值域為[-1，1]．…（7分）
（2）因為f （A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1．
因為A為銳角，
所以2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
所以2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
所以A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得b²-4b+4=0．解得b=2．…（14分）

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，利用正弦函數的性質，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．