Question

18．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，且離心率是$\frac{1}{2}$，過坐標原點O的任一直線交橢圓C于M、N兩點，且|NF₂|+|MF₂|=4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點A、B，且與圓x²+y²=1相切，
（i）求證：m²=k²+1；
（ii）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由|NF₂|+|MF₂|=4，得2a=4，由離心率是$\frac{1}{2}$，可得c和b即可．
（Ⅱ）（i）由圓心（0，0）到直線l的距離等于半徑，即$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，⇒m²=k²+1；
（ii）設A（x₁、y₁），B（x₂、y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{4m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}=\frac{7{m}^{2}-12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$$\frac{-5（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$．

解答 解：（Ⅰ）設M（x，y）是橢圓上任一點，則N（-x，-y），
∵|NF₂|+|MF₂|=4，∴$\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（-x-c）^{2}+（-y）^{2}}=4$
即$\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}=4$，
∴M（x，y）到點（c，0），（-c，0）的距離和為4，所以2a=4，a=2，
又∵離心率是$\frac{1}{2}$，∴c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）（i）證明：∵直線l：y=kx+m 與圓x²+y²=1相切，則圓心（0，0）到直線l的距離等于半徑1，
即$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$⇒m²=k²+1；
（ii）設A（x₁、y₁），B（x₂、y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k² x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{4m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}=\frac{7{m}^{2}-12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$，
∵m²=k²+1，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{-5（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{\frac{5}{4}（4{k}^{2}+3）+\frac{5}{4}}{4{k}^{2}+3}=-（\frac{5}{4}+\frac{\frac{5}{4}}{4{k}^{2}+3}）$
∵當k²=0時，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$有最小值為-$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的方程，及橢圓與直線的位置關系，屬于中檔題．