Question

17．雙曲線與橢圓有共同的焦點F₁（0，-5），F₂（0，5），點P（3，4）是雙曲線的漸近線與橢圓的一個交點，求橢圓的方程和雙曲線方程．

Answer 1

分析 先利用雙曲線與橢圓有共同的焦點F₁（0，-5），F₂（0，5），設出對應的雙曲線和橢圓方程，再利用點P（3，4）適合雙曲線的漸近線和橢圓方程，就可求出雙曲線與橢圓的方程．

解答 解：由共同的焦點F₁（0，-5），F₂（0，5），
可設橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-25}$=1，
雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{25-{b}^{2}}$=1，
點P（3，4）在橢圓上，$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{a}^{2}-25}$=1，解得a²=40，
雙曲線的過點P（3，4）的漸近線為y=$\frac{4}{3}$x，
故$\frac{{b}^{2}}{25-{b}^{2}}$=$\frac{16}{9}$，解得b²=16．
所以橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{40}$+$\frac{{x}^{2}}{15}$=1；
雙曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查雙曲線與橢圓的標準方程的求法．在求雙曲線與橢圓的標準方程時，一定要先分析焦點所在位置，再設方程，避免出錯．