Question

9．（1）求函數y=x（a-2x）（x＞0，a為大于2x的常數）的最大值；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，a²+b²+c²=4，求ab+bc+ac的最大值．

Answer 1

分析 （1）由x＞0，a＞2x，y=x（a-2x）=$\frac{1}{2}$×2x（a-2x），運用基本不等式即可得到所求最大值；
（2）運用重要不等式，推出2ab+2bc+2ac≤2（a²+b²+c²），即可得到所求最大值．

解答 解：（1）∵x＞0，a＞2x，
∴y=x（a-2x）=$\frac{1}{2}$×2x（a-2x）≤$\frac{1}{2}{（{\frac{2x+（a-2x）}{2}}）^2}$=$\frac{a^2}{8}$，
當且僅當x=$\frac{a}{4}$時取等號，故函數的最大值為$\frac{a^2}{8}$．
（2）∵a²+b²+c²=4，
∴2ab+2bc+2ac≤（a²+b²）+（b²+c²）+（a²+c²）=2（a²+b²+c²）=8，
∴ab+bc+ac≤4，
當且僅當a=b=c時，取得等號，
∴ab+bc+ac的最大值為4．

點評 本題考查函數的最值的求法，注意運用變形和基本不等式，以及滿足的條件，考查運算能力，屬于中檔題．