Question

19．設函數f（x）=mx²-mx-1，g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$．
（1）若對任意x∈[1，3]，不等式f（x）＜5-m恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）當m=-$\frac{1}{4}$時，確定函數g（x）在區間（3，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）＜5-m，推出m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，設h（x）=$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，則當x∈[1，3]時，m＜h（x）恒成立．利用二次函數的單調性求解m的取值范圍．
（2）推出g（x）=-（$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{x-1}$）．設x₁＞x₂＞3，則g（x₁）-g（x₂）=（x₁-x₂）（$\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$-$\frac{1}{4}$），利用函數的單調性的定義證明即可．

解答 解：（1）由f（x）＜5-m，得mx²-mx-1＜5-m，即m（x²-x+1）＜6．
因為x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，則m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$．（3分）
設h（x）=$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，則當x∈[1，3]時，m＜h（x）恒成立．
因為y=x²-x+1在區間[1，3]上是增函數，
則h（x）在區間[1，3]上是減函數，h（x）_min=h（3）=$\frac{6}{7}$，
所以m的取值范圍是（-∞，$\frac{6}{7}$）． （6分）
（2）因為f（x）=mx（x-1）-1，則g（x）=mx-$\frac{1}{x-1}$．
當m=-$\frac{1}{4}$時，g（x）=-（$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{x-1}$）． （7分）
設x₁＞x₂＞3，則g（x₁）-g（x₂）=$\frac{{x}_{2}}{4}+\frac{1}{{x}_{2}-1}$-$\frac{{x}_{1}}{4}$-$\frac{1}{{x}_{1}-1}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{4}+\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$
=（x₁-x₂）（$\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$-$\frac{1}{4}$）（10分）
因為x₁-1＞x₂-1＞2，則（x₁-1）（x₂-1）＞4，
得$\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$＜$\frac{1}{4}$，
又x₁-x₂＞0，則g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），所以g（x）在區間（3，+∞）上是減函數．（13分）

點評 本題考查函數恒成立，二次函數的簡單性質以及函數的單調性的定義的應用，考查轉化思想以及計算能力．