Question

19．已知函數f（x）=|x|（1+ax），設關于x的不等式f（x+a）＞f（x）對任意x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （-1，0）∪（0，1）
• C． （1，+∞）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 f（x）=|x|（1+ax）=0，可得x=0或-$\frac{1}{a}$，根據y=f（x+a）是由y=f（x）的圖象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|個單位得到，結合關于x的不等式f（x+a）＞f（x）對任意x∈R恒成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-a＞-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-a＜-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，即可得出結論．

解答 解：f（x）=|x|（1+ax）=0，可得x=0或-$\frac{1}{a}$，
y=f（x+a）是由y=f（x）的圖象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|個單位得到，
∵關于x的不等式f（x+a）＞f（x）對任意x∈R恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-a＞-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-a＜-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
∴a＜-1或a＞1，
故選A．

點評 本題考查函數的圖象變換，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．