Question

14．設單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角為銳角，若對任意的（x，y）∈{（x，y）|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$|=1，xy≥0}，都有|x+2y|≤$\frac{8}{\sqrt{15}}$成立，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 設單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角為θ，由|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$|=1，xy≥0，得（x+ycosθ）²+（ysinθ）²=1；
由|x+2y|≤$\frac{8}{\sqrt{15}}$得出[（x+ycosθ）²+（ysinθ）²][1+${（\frac{2-cosθ}{sinθ}）}^{2}$]≥$\frac{64}{15}$，
令t=cosθ，得出1+$\frac{{（2-t）}^{2}}{1{-t}^{2}}$≥$\frac{64}{15}$，求不等式的解集可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosθ的最小值．

解答 解：設單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角為銳角θ，
由|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$|=1，xy≥0，
得x²+y²+2xycosθ=1，
∴x²+2xycosθ+y²cos²θ+y²sin²θ=1，
即（x+ycosθ）²+（ysinθ）²=1；
又|x+2y|≤$\frac{8}{\sqrt{15}}$，
所以[（x+ycosθ）²+（ysinθ）²][1+${（\frac{2-cosθ}{sinθ}）}^{2}$]≥$\frac{64}{15}$；
令t=cosθ，則1+$\frac{{（2-t）}^{2}}{1{-t}^{2}}$≥$\frac{64}{15}$，
化簡得64t²-60t+11≤0，
即（16t-11）（4t-1）≤0，
解得$\frac{1}{4}$≤t≤$\frac{11}{16}$，
所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosθ≥$\frac{1}{4}$，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了平面向量數量積與不等式的解法與應用問題，是綜合性題目．