Question

11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足（2b-c）cos A-acos C=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{3}$，試求當△ABC的面積取最大值時，△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）根據余弦定理化簡已知的式子，化簡后求出cosA的值，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出A；
（2）由（1）和不等式求出bc的范圍，由三角形的面積公式，求出△ABC的面積取最大值時邊的值，即可判斷出△ABC的形狀．

解答 解：（1）∵（2b-c）cosA-acosC=0，
由余弦定理得（2b-c）•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=0，
整理得b²+c²-a²=bc，…（2分）
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；…（5分）
（2）由（1）得b²+c²-bc=3，
由b²+c²≥2bc得，bc≤3．…（7分）
當且僅當b=c=$\sqrt{3}$時取等號，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin A≤$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
從而當△ABC的面積最大時，a=b=c=$\sqrt{3}$．
∴當△ABC的面積取最大值時△ABC為等邊三角形．…（10分）

點評 本題考查余弦定理，三角形的面積公式，以及基本不等式在求值中的應用，考查化簡、變形能力．