Question

19．已知函數f（x）=-sin²x+sinx+a，
（1）當f（x）=0有實數解時，求a的取值范圍；
（2）若$x∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，恒有1≤f（x）≤$\frac{17}{4}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可轉化為a=sin²x-sinx有解，（-1≤sinx≤1），通過求解函數y=sin²x-sinx（-1≤sinx≤1）的值域確定a的范圍；
（2）把sinx看成一個整體，求出函數f（x）的值域為[a，a+$\frac{1}{4}$]，再根據題意得[a，a+$\frac{1}{4}$]⊆[1，$\frac{17}{4}$]，即可求出a的范圍．

解答 解：（1）∵sinx∈[-1，1]
若f（x）=0有實數解⇒a=sin²x-sinx=（sinx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$有解
y=sin²x-sinx在區間[-1，$\frac{1}{2}$]上單調遞減，[$\frac{1}{2}$，1]上單調遞增
從而y=（sinx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$∈[-$\frac{1}{4}$，2]，
∴a∈[-$\frac{1}{4}$，2]；
（2）f（x）=-sin²x+sinx+a
=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+a+$\frac{1}{4}$．
由$x∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，$\frac{1}{2}$≤sinx≤1可以的出函數f（x）的值域為[a，a+$\frac{1}{4}$]，
由1≤f（x）≤$\frac{17}{4}$得[a，a+$\frac{1}{4}$]⊆[1，$\frac{17}{4}$]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a+\frac{1}{4}≤\frac{17}{4}}\end{array}\right.$⇒1≤a≤4，
故a的范圍是1≤a≤4．

點評 本題主要以正弦函數的值域為載體，考查二次函數在閉區間上的值域，屬于中檔題．