Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2$\sqrt{3}$，PD=CD=2，則二面角A-PB-C的正切值為$\frac{\sqrt{15}}{9}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的正切值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂直線為z軸，建立空間直角坐標系，
在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2$\sqrt{3}$，可得∠PCD=30°，
∴P到平面ABCD的距離為PCsin30°=$\sqrt{3}$．
∴A（1，0，0），P（0，-1，$\sqrt{3}$），B（1，2，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{PA}$=（1，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，3，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，3，-$\sqrt{3}$），
設平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+3y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
設平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=a+b-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=3b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取c=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（2，1，$\sqrt{3}$），
設二面角A-PB-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{8}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{6}}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{15}}{9}$．
∴二面角A-PB-C的正切值為$\frac{\sqrt{15}}{9}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{9}$．

點評 本題考查二面角的正切值的求法，向量的數量積的應用，考查空間想象能力以及計算能力，是中檔題．