Question

1．已知函數f（x）=2x²-（m²+m+1）x+15，g（x）=m²x-m，其中m∈R．
（1）若f（x）+g（x）+m≥0，對x∈[1，4）恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）設函數$F（x）=\left\{{\begin{array}{l}{g（x），x≥0}\\{f（x），x＜0}\end{array}}\right.$
①對任意的x₁＞0，存在唯一的實數x₂＜0，使其F（x₁）=F（x₂），求m的取值范圍；
②是否存在求實數m，對任意給定的非零實數x₁，存在唯一非零實數x₂（x₁≠x₂），使其F（x₂）=F（x₁），若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）+g（x）+m≥0對x∈[1，4）恒成立，及$m≤\frac{{2{x^2}-x+15}}{x}$對x∈[1，4）恒成立解，求出$y=\frac{{2{x^2}-x+15}}{x}=2x+\frac{15}{x}-1$的最小值即可．
（2）當x＞0時，F（x）=m²x-m∈（-m，+∞）=A，當x＜0時，F（x）∈（15，+∞）=B
①由A⊆B，求出m的范圍；
②假設存在實數m，則$\left\{{\begin{array}{l}{A⊆B}\\{B⊆A}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{-m≥15}\\{15≥-m}\end{array}}\right.⇒m=-15$求出m的值．

解答 解：（1）由f（x）+g（x）+m≥0對x∈[1，4）恒成立，
及$m≤\frac{{2{x^2}-x+15}}{x}$對x∈[1，4）恒成立
令$y=\frac{{2{x^2}-x+15}}{x}=2x+\frac{15}{x}-1$
在$（0，\frac{{\sqrt{30}}}{2}]$上遞減，在$[\frac{{\sqrt{30}}}{2}，+∞）$遞增
∴${y_{min}}=2\sqrt{30}-1$∴$m≤2\sqrt{30}-1$…（6分）
（2）$F（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}x-m，x≥0}\\{2{x^2}-（{m^2}+m+1）x+15，x＜0}\end{array}}\right.$，
m=0，不滿足題意，∴m≠0
當x＞0時，F（x）=m²x-m∈（-m，+∞）=A，當x＜0時，F（x）∈（15，+∞）=B
①依題意A⊆B，∴-m≥15即m≤-15…（9分）
②假設存在實數m，則$\left\{{\begin{array}{l}{A⊆B}\\{B⊆A}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{-m≥15}\\{15≥-m}\end{array}}\right.⇒m=-15$
故所求m存在為-15．…（12分）

點評 本題考查了函數恒成立、任意、存在性問題，轉化思想是關鍵，屬于中檔題．