Question

6．設(shè)θ為第二象限角，若tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，則sinθ+cosθ=（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• C． $-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$

Answer 1

分析 已知等式利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，求出tanθ的值，再根據(jù)θ為第二象限角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinθ與cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．

解答 解：∵tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanθ+1}{1-tanθ}$=$\frac{1}{2}$，
∴tanθ=-$\frac{1}{3}$，
而cos²θ=$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}θ}$，
∵θ為第二象限角，
∴cosθ=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}θ}}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
則sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．