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17.中心在原點,焦點坐標為$(±\sqrt{2},0)$的橢圓被直線y=x+1截得的弦中點橫坐標為$-\frac{2}{3}$,則橢圓方程為(  )
A.$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$B.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$D.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

分析 由題意可設橢圓的標準方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),弦的兩個端點為:A(x1,y1),B(x2,y2).可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1,$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1,相減可得:$\frac{({x}_{1}+{x}_{2})({x}_{1}-{x}_{2})}{{a}^{2}}$+$\frac{({y}_{1}+{y}_{2})({y}_{1}-{y}_{2})}{{b}^{2}}$=0,把x1+x2=2×$(-\frac{2}{3})$=-$\frac{4}{3}$,y1+y2=2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$,$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1,代入及其a2=b2+c2,c=$\sqrt{2}$,聯立解出即可得出.

解答 解:由題意可設橢圓的標準方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),
弦的兩個端點為:A(x1,y1),B(x2,y2).
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1,$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1,相減可得:$\frac{({x}_{1}+{x}_{2})({x}_{1}-{x}_{2})}{{a}^{2}}$+$\frac{({y}_{1}+{y}_{2})({y}_{1}-{y}_{2})}{{b}^{2}}$=0,
x1+x2=2×$(-\frac{2}{3})$=-$\frac{4}{3}$,y1+y2=2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$,$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1,
-$\frac{4}{3{a}^{2}}$+$\frac{2}{3{b}^{2}}$=0,a2=b2+c2,c=$\sqrt{2}$.
聯立解得:a=2,b=$\sqrt{2}$.
∴此橢圓的標準方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1.
故選:D.

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、“點差法”、中點坐標關系、斜率計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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