Question

17．中心在原點，焦點坐標為$（±\sqrt{2}，0）$的橢圓被直線y=x+1截得的弦中點橫坐標為$-\frac{2}{3}$，則橢圓方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

Answer 1

分析 由題意可設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），弦的兩個端點為：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，把x₁+x₂=2×$（-\frac{2}{3}）$=-$\frac{4}{3}$，y₁+y₂=2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，代入及其a²=b²+c²，c=$\sqrt{2}$，聯立解出即可得出．

解答 解：由題意可設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
弦的兩個端點為：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
x₁+x₂=2×$（-\frac{2}{3}）$=-$\frac{4}{3}$，y₁+y₂=2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
-$\frac{4}{3{a}^{2}}$+$\frac{2}{3{b}^{2}}$=0，a²=b²+c²，c=$\sqrt{2}$．
聯立解得：a=2，b=$\sqrt{2}$．
∴此橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、“點差法”、中點坐標關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．