Question

18．已知正實數a，b滿足a+b=3，則$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{4+b}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{7}{8}$
• C． $\frac{9}{8}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知可得$\frac{a}{3}+\frac{b}{3}=1$，代入$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{4+b}$，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵a+b=3，
∴$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{4+b}$=$\frac{\frac{a}{3}+\frac{b}{3}}{1+a}+\frac{\frac{4a}{3}+\frac{4b}{3}}{4+b}$=$\frac{\frac{a}{3}+\frac{b}{3}}{\frac{4a}{3}+\frac{b}{3}}+\frac{\frac{4a}{3}+\frac{4b}{3}}{\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3}}$
=$\frac{\frac{1}{8}（\frac{4a}{3}+\frac{b}{3}）+\frac{1}{8}（\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3}）}{\frac{4a}{3}+\frac{b}{3}}+\frac{\frac{1}{2}（\frac{4a}{3}+\frac{b}{3}）+\frac{1}{2}（\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3}）}{\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3}}$
=$\frac{1}{8}+\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{8}（\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3}）}{\frac{4a}{3}+\frac{b}{3}}+\frac{\frac{1}{2}（\frac{4a}{3}+\frac{b}{3}）}{\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3}}$$≥\frac{5}{8}+2\sqrt{\frac{1}{8}×\frac{1}{2}}=\frac{5}{8}+\frac{1}{2}=\frac{9}{8}$．
當且僅當$（\frac{4a}{3}+\frac{7b}{3}）=2（\frac{4a}{3}+\frac{b}{3}）$，即a=$\frac{5}{3}$，b=$\frac{4}{3}$時等號成立．
故選：C．

點評 本題考查利用基本不等式求最值，關鍵是掌握該類問題的求解方法，是中檔題．