Question

1．已知等差數列{a_n}的前n項和 S_n，且a₄=11，S₈=100；數列{b_n}滿足${b_1}=\frac{1}{2}{a_1}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）利用等比數列的通項公式與求和公式即可得出．

解答 解：（1）設數列{a_n}的公差為d，由$\left\{\begin{array}{l}{a_4}={a_1}+3d=11\\{S_8}=8{a_1}+\frac{8×7}{2}d=100\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\ d=3\end{array}\right.$，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）${b_1}=\frac{1}{2}{a_1}$=1，由a_nb_n+1+b_n+1=nb_n可得：b_n+1=$\frac{1}{3}$b_n．
∴數列{b_n}是等比數列，首項為1，公比為$\frac{1}{3}$．
故其前n項和${T_n}=\frac{{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}{（\frac{1}{3}）^n}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．