Question

11．如圖，設鐵路AB長為50，BC⊥AB，且BC=10，為將貨物從A運往C，現在AB上距點B為x的點M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運費為2，公路運費為4．
（1）將總運費y表示為x的函數；
（2）如何選點M才使總運費最小？

Answer 1

分析 （1）由已知中鐵路AB長為50，BC⊥AB，且BC=10，為將貨物從A運往C，現在AB上距點B為x的點M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運費為2，公路運費為4，我們可計算出公路上的運費和鐵路上的運費，進而得到由A到C的總運費；
（2）由（1）中所得的總運費y表示為x的函數，利用導數法，我們可以分析出函數的單調性，及函數的最小值點，得到答案．

解答 解：（1）依題中，鐵路AB長為50，BC⊥AB，且BC=10，
將貨物從A運往C，現在AB上距點B為x的點M處修一公路至C，
且單位距離的鐵路運費為2，公路運費為4
∴鐵路AM上的運費為2（50-x），公路MC上的運費為4 $\sqrt{100{+x}^{2}}$，
則由A到C的總運費為y=2（50-x）+4 $\sqrt{100{+x}^{2}}$（0≤x≤50）…（6分）
（2）y′=-2+$\frac{4x}{\sqrt{100{+x}^{2}}}$（0≤x≤50），
令y′=0，
解得x=$\frac{10}{\sqrt{3}}$，或x=-$\frac{10}{\sqrt{3}}$（舍）…（9分）
當0≤x≤$\frac{10}{\sqrt{3}}$時，y′≤0；當$\frac{10}{\sqrt{3}}$≤x≤50時，y′≥0
故當x=$\frac{10}{\sqrt{3}}$時，y取得最小值．…（12分）
即當在距離點B為$\frac{10}{\sqrt{3}}$時的點M處修筑公路至C時總運費最省．…（13）

點評 本題考查的知識點是導數在最大值最小值問題中的應用，函數最值的應用，其中根據已知條件求出函數的解析式，并確定函數的單調性是解答本題的關鍵．