Question

8．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+tsinα\end{array}$（t為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{6}}$）．
（Ⅰ）寫出圓C的普通方程；
（Ⅱ）設l與C交于A，B兩點，弦|AB|=$\sqrt{5}$，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ+\frac{π}{6}}）$═$\sqrt{2}$cosθ-$\sqrt{6}$sinθ，即可化為直角坐標方程．
（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+tsinα\end{array}\right.$（t為參數），即y=kx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲線C的標準方程：（x-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=2，圓心到直線的距離d=$\frac{|\frac{\sqrt{6}}{2}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2-\frac{5}{4}}$，求出k，即可求出求出α的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ+\frac{π}{6}}）$
=2$\sqrt{2}$（cosθcos$\frac{π}{6}$-sinθsin$\frac{π}{6}$）
=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）
=$\sqrt{6}$cosθ-$\sqrt{2}$sinθ
∴x²+y²=$\sqrt{6}$x-$\sqrt{2}$y，即x²+y²-$\sqrt{6}$x+$\sqrt{2}$y=0；
（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+tsinα\end{array}\right.$（t為參數），即y=kx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲線C的標準方程：（x-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=2，
圓心到直線的距離d=$\frac{|\frac{\sqrt{6}}{2}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2-\frac{5}{4}}$得：k=±1，
∴直線l的傾斜角為45°或135°．

點評 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，以及利用平面幾何知識解決最值問題．利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．