Question

20．已知數列{a_n}，a₁=2，點$（{\frac{1}{2}{a_n}，{a_{n+1}}+1}）$在函數f（x）=2x+3的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列${b_n}={2^{a_n}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由點$（{\frac{1}{2}{a_n}，{a_{n+1}}+1}）$在函數f（x）=2x+3的圖象上，代入可知：a_n+1-a_n=2，數列{a_n}是以2為首項，以2為公差的等差數列，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）數列${b_n}={2^{a_n}}$=2²ⁿ=4ⁿ，數列{b_n}是以4為首項，4為公比的等比數列，利用等比數列前n項和，即可求得數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由點$（{\frac{1}{2}{a_n}，{a_{n+1}}+1}）$在函數f（x）=2x+3的圖象上，
則a_n+1+1=2×$\frac{1}{2}$a_n+3，
∴a_n+1-a_n=2，
數列{a_n}是以2為首項，以2為公差的等差數列，a_n=2+2（n-1）=2n；
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n；
（2）數列${b_n}={2^{a_n}}$=2²ⁿ=4ⁿ，
∴數列{b_n}是以4為首項，4為公比的等比數列，
數列{b_n}的前n項和T_n，T_n=$\frac{{b}_{1}（1-{b}_{n}）}{1-q}$=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1），
∴數列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．

點評 本題考查等比數列通項公式及前n項和公式，考查計算能力，屬于中檔題．