Question

12．已知在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosC，bcosA，ccosA成等差數(shù)列．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，求$|\overrightarrow{AD}|$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的性質可得2bcosA=acosC+ccosA，由正弦定理，三角形內角和定理化簡可得sinB=2sinBcosA，結合sinB≠0，可求$cosA=\frac{1}{2}$，即可得解$A=\frac{π}{3}$．
（2）利用平面向量的運算，余弦定理可得${\overrightarrow{AD}^2}=|\overrightarrow{AD}{|^2}=\frac{1}{4}（9+2cb）$，進而利用基本不等式即可計算得解．

解答 解：（1）∵由題意知2bcosA=acosC+ccosA，
由正弦定理知sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，
又∵sinB≠0，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2}$）=$\frac{1}{4}$（c²+b²+2cbcosA）=$\frac{1}{4}$（c²+b²+cb），
又∵由余弦定理可得：a²=c²+b²-2cbcosA=c²+b²-cb=9，
∴${\overrightarrow{AD}^2}=|\overrightarrow{AD}{|^2}=\frac{1}{4}（9+2cb）$，
∵由c²+b²-cb=9≥2cb-cb=cb，當且僅當c=b時取等號，
∴$|\overrightarrow{AD}{|^2}≤\frac{1}{4}（9+18）=\frac{27}{4}$，
∴$|\overrightarrow{AD}|$的最大值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題主要考查了等差數(shù)列的性質，正弦定理，三角形內角和定理，平面向量的運算，余弦定理，基本不等式在解三角形中的綜合應用，考查了計算求解能力和轉化思想，屬于中檔題．