Question

18．已知f（x）=xe^x，g（x）=-（x+1）²+a，若存在x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． $[\frac{1}{e}$，+∞）
• B． $[-\frac{1}{e}$，+∞）
• C． （0，e）
• D． $[-\frac{1}{e}$，0）

Answer 1

分析 ?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等價于f（x）_min≤g（x）_max，利用導數可求得f（x）的最小值，根據二次函數的性質可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．

解答 解：?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，
等價于f（x）_min≤g（x）_max，
f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
當x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
當x＞-1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
所以當x=-1時，f（x）取得最小值f（x）_min=f（-1）=-$\frac{1}{e}$；
當x=-1時g（x）取得最大值為g（x）_max=g（-1）=a，
所以-$\frac{1}{e}$≤a，即實數a的取值范圍是a≥-$\frac{1}{e}$，
故選：B．

點評 本題考查二次函數的性質及利用導數求函數的最值，考查“能成立”問題的處理方法，解決該題的關鍵是把問題轉化為求函數的最值問題解決．