Question

20．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x，（x≤a）}\\{-x，（x＞a）}\end{array}\right.$無最大值，則實數(shù)a的取值范圍（-∞，-1）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得極值點，討論a=-1，a＜-1，a＞-1，結(jié)合單調(diào)性和f（x）無最大值，可得a的不等式組，解不等式可得a的范圍．

解答 解：若a=0，對f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x}&{x≤0}\\{-x}&{x＞0}\end{array}\right.$，
求導(dǎo)f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2}&{x≤0}\\{-1}&{x＞0}\end{array}\right.$，
當x＜-1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)為增函數(shù)，
當x＞-1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)為減函數(shù)，
故當x=-1時，f（x）的最大值為2，與題意不符，舍去；
②當a≠0，f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2}&{x≤a}\\{-1}&{x＞a}\end{array}\right.$，
令f′（x）=0，則x=-1，
當a=-1時，可得f（x）在（-∞，-1]遞增，
可得f（x）在x=-1處取得最大值1，與題意不符，舍去；
若f（x）無最大值，則$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{-a＞-{a}^{2}-2a}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{-a＞-{a}^{2}-2a}\\{-a＞1}\end{array}\right.$，
解得：a＜-1或∅，
故答案為：（-∞，-1）．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，以及運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．