Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{{5^x}+1}}$+m為奇函數(shù)，m為常數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{{5^x}+1}}$+m為奇函數(shù)，f（0）=0，可得實數(shù)m的值；
（2）f（x）=$\frac{2}{{{5^x}+1}}$-1在R上為減函數(shù)，
證法一：設(shè)x₁＜x₂，作差判斷出f（x₁）＞f（x₂），可得：故f（x）=$\frac{2}{{{5^x}+1}}$-1在R上為減函數(shù)；
證法二：求導(dǎo)，根據(jù)f′（x）=-$\frac{2ln5•{5}^{x}}{（{5}^{x}+1）^{2}}$＜0恒成立，可得：f（x）=$\frac{2}{{{5^x}+1}}$-1在R上為減函數(shù)；
（3）若關(guān)于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，即關(guān)于x的不等式f（x）＞a有解，求出函數(shù)值的上界，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{{5^x}+1}}$+m為奇函數(shù)，
∴f（0）=1+m=0．
解得：m=-1，
當(dāng)m=-1時，f（-x）=-f（x）恒成立，
故m=-1；
（2）由（1）得，f（x）=$\frac{2}{{{5^x}+1}}$-1在R上為減函數(shù)，理由如下；
證法一：設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{5}^{{x}_{1}}+1}$-1-$\frac{2}{{5}^{{x}_{2}}+1}$+1=$\frac{2（{5}^{{x}_{2}}-{5}^{{x}_{1}}）}{{（5}^{{x}_{1}}+1）（{5}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵${5}^{{x}_{1}}+1＞0$，${5}^{{x}_{2}}+1$＞0，${5}^{{x}_{2}}-{5}^{{x}_{1}}＞0$，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
∴故f（x）=$\frac{2}{{{5^x}+1}}$-1在R上為減函數(shù)；
證法二：∵f（x）=$\frac{2}{{{5^x}+1}}$-1
∴f′（x）=-$\frac{2ln5•{5}^{x}}{（{5}^{x}+1）^{2}}$＜0恒成立，
故f（x）=$\frac{2}{{{5^x}+1}}$-1在R上為減函數(shù)；
（3）若關(guān)于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，
即關(guān)于x的不等式f（f（x））+f（-a）＜0有解，
即關(guān)于x的不等式f（f（x））＜-f（-a）=f（a）有解，
即關(guān)于x的不等式f（x）＞a有解，
當(dāng)x→∞時，f（x）→-1，
故a＜-1

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，存在性問題，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．