Question

17．若函數f（x）在區間A上，對?a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）為一個三角形的三邊長，則稱函數f（x）為“三角形函數”．已知函數f（x）=xlnx+m在區間[$\frac{1}{e^2}$，e]上是“三角形函數”，則實數m的取值范圍為（　　）

• A． $（\frac{1}{e}，\frac{{{e^2}+2}}{e}）$
• B． $（\frac{2}{e}，+∞）$
• C． $（\frac{1}{e}，+∞）$
• D． $（\frac{{{e^2}+2}}{e}，+∞）$

Answer 1

分析 若f（x）為“三角形函數”．則在區間D上，函數的最大值M和最小值m應滿足：M＜2m，利用導數法求出函數的最值，可得實數m的取值范圍．

解答 解：若f（x）為“區域D上的三角形函數”．
則在區間D上，函數的最大值M和最小值m應滿足：M＜2m，
∵函數f（x）=xlnx+m在區間[$\frac{1}{e^2}$，e]上是“三角形函數”，
f′（x）=lnx+1，
當x∈[$\frac{1}{e^2}$，$\frac{1}{e}$）時，f′（x）＜0，函數f（x）遞減；
當x∈（$\frac{1}{e}$，e]時，f′（x）＞0，函數f（x）遞增；
故當x=$\frac{1}{e}$時，函數f（x）取最小值-$\frac{1}{e}$+m，
又由f（e）=e+m，f（$\frac{1}{e^2}$）=-$\frac{2}{{e}^{2}}$+m，
故當x=e時，函數f（x）取最大值e+m，
∴0＜e+m＜2（-$\frac{1}{e}$+m），
解得：m∈$（\frac{{{e^2}+2}}{e}，+∞）$，
故選：D．

點評 本題考查的知識點是函數的最值，能正確理解f（x）為“三角形函數”的概念，是解答的關鍵．