Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²$\frac{nπ}{2}$）a_n+sin²$\frac{nπ}{2}$，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（　　）

• A． 89
• B． 76
• C． 77
• D． 35

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列遞推式，可得數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此a_2k-1=k，數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a_2k=2^k，從而可求數(shù)列的前10項(xiàng)的和．

解答 解：因?yàn)閍₁=1，a₂=2，所以a₃=（1+cos² $\frac{π}{2}$）a₁+sin² $\frac{π}{2}$=a₁+1=2，a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1=[1+cos² $\frac{（2k-1）π}{2}$]a_2k-1+sin²$\frac{（2k-1）π}{2}$=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此a_2k-1=k．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2=（1+cos² $\frac{2kπ}{2}$）a_2k+sin²$\frac{2kπ}{2}$=2a_2k．
所以數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a_2k=2^k．
該數(shù)列的前10項(xiàng)的和為1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的遞推式，注意數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的不同是解題的關(guān)鍵．