Question

16．設函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a≠0，b∈R），若f（-1）=0，且對任意實數(shù)x（x∈R）不等式f（x）≥0恒成立．
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（-1）=0，且對任意實數(shù)x（x∈R）不等式f（x）≥0恒成立，列出方程組，求解即可．
（2）求出函數(shù)的對稱軸，利用函數(shù)的單調性列出不等式，求解即可．

解答 解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0．…（2分）
∵任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={b^2}-4a≤0\end{array}\right.$．
解得a=1，b=2．…（4分）
（2）由（1）知f（x）=x²+2x+1，
∴g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1的對稱軸為$x=\frac{k-2}{2}$．…（6分）
∵當x∈[-2，2]時，g（x）是增函數(shù)，
∴$\frac{k-2}{2}≤-2$，…（10分）
∴實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-2]．…（12分）

點評 本題考查二次函數(shù)的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力．