Question

6．已知各項都為正數的等比數列{a_n}滿足$\frac{1}{2}$a₃是3a₁與2a₂的等差中項，且a₁a₂=a₃．
（ I）求數列{a_n}的通項公式；
（ II）設b_n=log₃a_n，且S_n為數列{b_n}的前n項和，求數列{${\frac{{1+2{S_n}}}{S_n}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據等比數列的定義和等差中項即可求出{a_n}的通項公式，
（Ⅱ）根據對數的性質得到b_n=log₃a_n=n，再根據等差數列的前n項公式得到Sn，代入到${\frac{{1+2{S_n}}}{S_n}$，裂項求和即可．

解答 解：（I）設等比數列的公比為q，由題意知q＞0，且3a₁+2a₂=a₃，a₁a₂=a₃．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+2{a}_{1}q={a}_{1}{q}^{2}}\\{{{a}_{1}}^{2}q={a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$
解得a₁=q=3，故a_n=3ⁿ，
（Ⅱ）b_n=log₃a_n=n，
∴Sn=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴${\frac{{1+2{S_n}}}{S_n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$+2=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+2，
故數列{${\frac{{1+2{S_n}}}{S_n}$}的前n項和為T_n=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]+2n=2（1-$\frac{1}{n+1}$）+2n=$\frac{2{n}^{2}+4n}{n+1}$

點評 本題考查了等差數列的性質和前n項和公式和等比數列的通項公式和裂項求和，屬于中檔題．