Question

13．已知點A（x_A，y_A）是單位圓（圓心為坐標原點O，半徑為1）上任意一點，將射線OA繞點O逆時針旋轉$\frac{π}{3}$到OB，交單位圓于點B（x_B，y_B），已知m＞0，若my_A-2y_B的最大值為$\sqrt{7}$，則實數m為3．

Answer 1

分析 由坐標旋轉公式，結合基本不等式，my_A-2y_B的最大值為$\sqrt{7}$，即可求出實數m的值

解答 解：由坐標旋轉公式得：${y_B}=\frac{1}{2}{y_A}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_A}m{y_A}-2{y_B}=（m-1）{y_A}-\sqrt{3}{x_B}≤\sqrt{{{（m-1）}^2}+{{（-\sqrt{3}）}^2}}\sqrt{y_A^2+x_A^2}=\sqrt{{{（m-1）}^2}+3}$，
則$\sqrt{{{（m-1）}^2}+3}=\sqrt{7}⇒m=3$．
故答案為3．

點評 本題考查實數值的求法，解題時要注意單位圓、基本不等式的合理運用，屬于中檔題．