Question

3．若正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=1，則$\frac{1}{x+y}$+$\frac{x+y}{z}$的最小值是3．

Answer 1

分析 由題意：x+y+z=1，那么$\frac{1}{x+y}=\frac{x+y+z}{x+y}=1+\frac{z}{x+y}$，利用基本不等式求解．

解答 解：由題意：x、y、z＞0，滿足x+y+z=1．
則$\frac{1}{x+y}$+$\frac{x+y}{z}$=$\frac{x+y+z}{x+y}+\frac{z}{x+y}$=1+$\frac{z}{x+y}+\frac{x+y}{z}$$≥2\sqrt{\frac{z}{x+y}•\frac{x+y}{z}}+1=3$
當(dāng)且僅當(dāng)z=x+y=$\frac{1}{2}$時(shí)，取等號(hào)．
∴$\frac{1}{x+y}$+$\frac{x+y}{z}$的最小值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的變形化簡(jiǎn)能力和運(yùn)用能力．屬于基礎(chǔ)題．