Question

13．有3名男生，2名女生，全體排成一排，問下列情形各有多少種排法？
（1）甲不在中間也不在兩端；
（2）甲、乙兩人必須排在兩端；
（3）甲、乙兩人不相鄰；   
（4）男、女分別排在一起；
（5）男女相間排列；       
（6）甲、乙、丙三人按從左到右的順序不變．

Answer 1

分析 （1）甲不在中間也不在兩端，先在2個位置安排甲，再安排其它人，可得結論；
（2）甲、乙兩人必須排在兩端，先在兩段安排甲乙，再安排其它人，可得結論；
（3）甲、乙兩人不相鄰，利用插空法，可得結論；   
（4）男、女分別排在一起，利用捆綁法，可得結論；
（5）男女相間排列，利用插空法，可得結論；       
（6）甲、乙、丙三人按從左到右的順序不變，利用除法，可得結論．

解答 解：（1）甲不在中間也不在兩端，先在2個位置安排甲，再安排其它人，可得$A_2^1A_4^4=48$------（2分）
（2）甲、乙兩人必須排在兩端，先在兩段安排甲乙，再安排其它人，可得$A_2^2A_3^3=12$------（4分）
（3）甲、乙兩人不相鄰，利用插空法，可得$A_3^3A_4^2=72$------（6分）
（4）男、女分別排在一起，利用捆綁法，可得$A_3^3A_2^2A_2^2=24$------（8分）
（5）男女相間排列，利用插空法，可得$A_3^3A_2^2=12$------（10分）
（6）甲、乙、丙三人按從左到右的順序不變，利用除法，可得$\frac{A_5^5}{A_3^3}=20$------（12分）

點評 本題集排列組合的多種類型于一題，充分體現了元素分析法（優先考慮特殊元素）、位置分析法（優先考慮特殊位置）、插空法等常見的解題思路．