Question

2．若函數f（x）=x+$\frac{x}$（b∈R）的導函數在區間（1，2）上有零點，則f（x）在下列區間上單調遞增的是（　�。�

• A． （-∞，-1]
• B． （-1，0）
• C． （0，1）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 本題先根據導函數在區間（1，2）上有零點，得到b的取值范圍，再利用b的取值范圍，求出函數的單調增區間，結合b的取值范圍，選擇符合題意的選項．

解答 解：∵函數f（x）=x+$\frac{x}$（b∈R），
∴f′（x）=1-$\frac{{x}^{2}}$，
∵函數f（x）=x+$\frac{x}$（b∈R）的導函數在區間（1，2）上有零點
∴當1-$\frac{{x}^{2}}$=0時，b=x²，x∈（1，2）
∴b∈（1，4）
令f'（x）＞0 得到x$＜-\sqrt$或x$＞\sqrt$，
即f（x）的單調增區間為（-∞，-$\sqrt$），（$\sqrt$，+∞），
∵b∈（1，4），
∴（2，+∞）適合題意．
故選：D．

點評 本題在研究了b的取值范圍后，得到了函數f（x）的單調增區間，在選擇選項時，要注意選擇恒成立的選項．