Question

7．已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3，x∈（-1，0]}\\{3-{x}^{2}，x∈（0，1]}\end{array}\right.$，且f（x）=f（x+2），g（x）=$\frac{3x-7}{x-2}$，則方程g（x）=f（x）-g（x）在區間[-3，7]上的所有零點之和為（　　）

• A． 12
• B． 11
• C． 10
• D． 9

Answer 1

分析 分析兩函數的性質，在同一坐標系內畫出兩函數圖象，利用數形結合的方法可求．

解答 解：∵f（x）=f（x+2），∴函數f（x）為周期為2的周期函數，
函數g（x）=$\frac{3x-7}{x-2}=3-\frac{1}{x-2}$，其圖象關于點（2，3）對稱，如圖，函數f（x）的圖象也關于點（2，3）對稱，
函數f（x）與g（x）在[-3，7]上的交點也關于（2，3）對稱，
設A，B，C，D的橫坐標分別為a，b，c，d，
則a+d=4，b+c=4，由圖象知另一交點橫坐標為3，
故兩圖象在[-3，7]上的交點的橫坐標之和為4+4+3=11，
即函數y=f（x）-g（x）在[-3，7]上的所有零點之和為11．
故選：B．

點評 本題考查函數的周期性，函數的零點的概念，以及數形結合的思想方法．屬于中檔題．