Question

15．已知函數f（x）是奇函數，且定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）．若x＜0時，f（x）=-x-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用函數的奇偶性的定義，直接求解函數的解析式即可．
（2）利用分段函數列出不等式求解即可．

解答 解：（1）當x＞0時，-x＜0，f（-x）=x-1-----------（2分）
∵函數f（x）是定義域為的奇函數．
∴f（x）=-f（-x）=1-x------------（4分）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-1（x＜0）}\\{1-x（x＞0）}\end{array}\right.$------------（6分）
（2）∵f（x）＞0
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x-1＞0}\\{x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$-------（9分）
解得：x＜-1或0＜x＜1------------（11分）
故不等式的解集為：（-∞，-1）∪（0，1）．----------（12分）

點評 本題考查函數的解析式的求法，函數的奇偶性以及分段函數的應用，考查計算能力．