Question

20．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=2^x-1．
（Ⅰ）求f（3）+f（-1）；
（Ⅱ）求f（x）在R上的解析式；
（Ⅲ）求不等式-7≤f（x）≤3的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數的奇偶性即可求f（3）+f（-1）；
（Ⅱ）利用函數的奇偶性的性質即可求f（x）的解析式；
（Ⅲ）利用函數的解析式，列出不等式求解即可．

解答 解：（Ⅰ） f（3）+f（-1）=f（3）-f（1）=7-1=6；                    …（2分）
（Ⅱ）當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-（2^-x-1）=-2^-x+1，…（4分）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}+1，x＜0}\\{{2}^{x}-1，x≥0}\end{array}\right.$．…（6分）
（Ⅲ）①當x＜0時，-7≤-2^-x+1≤3，∴-2≤2^-x≤8，且x＜0，∴-3≤x＜0．…（8分）
②當x≥0時，-7≤2^x-1≤3，∴0≤x≤2．…（10分）
綜上：解集為[-3，2]．…（12分）

點評 本題考查函數的奇偶性的應用，函數的解析式的求法，不等式的解法，考查計算能力．