Question

9．已知偶函數y=f（x）是定義域為R，當x≥0時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3sin\frac{π}{2}x，0≤x≤1\\{2^{2-x}}+1，x＞1\end{array}\right.$．函數g（x）=x²-2ax+a²-1（a∈R）．若函數y=g（f（x））有且僅有6個零點，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （1，2]
• B． （1，2）
• C． （2，3]
• D． （2，3）

Answer 1

分析 由g（x）=x²-2ax+a²-1=（x-a-1）（x-a+1）可知g[f（x）]=0可化為f（x）=a+1或f（x）=a-1；作函數f（x）的圖象，從而可得a的不等式組；化簡求解即可．

解答 解：∵g（x）=x²-2ax+a²-1=（x-a-1）（x-a+1），
∴g[f（x）]=0可化為f（x）=a+1或f（x）=a-1；
作函數f（x）的圖象如下，
，
結合圖象可知，$\left\{\begin{array}{l}{0＜a-1≤1}\\{1＜a+1＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1＜a-1＜3}\\{a+1=3}\end{array}\right.$；
即1＜a＜2，
故選：B．

點評 本題考查了復合函數的應用及數形結合的思想應用．考查分析問題解決問題的能力．