Question

2．已知二次函數f（x）=x²+bx+c，且f（-3）=f（1），f（0）=0．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）-（4+2a）x+2，x∈[1，2]，求函數g（x）的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中f（-3）=f（1），f（0）=0，求出b，c的值，可得函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）函數g（x）=f（x）-（4+2a）x+2=x²-（2+2a）x+2的圖象開口朝上，且以直線x=a+1為對稱軸，由x∈[1，2]，對對稱軸的位置進行分類討論，可得函數的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵二次函數f（x）=x²+bx+c，且f（-3）=f（1），f（0）=0．
∴c=0，且9-3b=1+b，
∴b=2，
∴函數f（x）=x²+2x …（4分）
（Ⅱ） g（x）=f（x）-（4+2a）x+2=x²-（2+2a）x+2的圖象開口朝上，且以直線x=a+1為對稱軸，
由x∈[1，2]，
①當a+1≤1時，即a≤0時，當x=1時，函數g（x）取最小值1-2a，當x=2時，函數g（x）取最大值2-4a；…（6分）
②當1＜a+1＜$\frac{3}{2}$時，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，當x=1+a時，函數g（x）取最小值-a²-2a+1，當x=2時，函數g（x）取最大值2-4a    …（8分）
③當a+1=$\frac{3}{2}$時，即a=$\frac{1}{2}$時，當x=$\frac{3}{2}$時，函數g（x）取最小值-$\frac{17}{4}$，當x=1，或x=2時，函數g（x）取最大值-2；
④當$\frac{3}{2}$＜a+1＜2時，即$\frac{1}{2}$＜a＜1時，當x=1+a時，函數g（x）取最小值-a²-2a+1，當x=1時，函數g（x）取最大值1-2a，…（10分）
⑤當a+1≥2時，即a≥1時，當x=2時，函數g（x）取最小值2-4a，當x=1時，函數g（x）取最大值1-2a．…（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．