Question

13．已知a∈R，函數f（x）=e^x-a（x+1）的圖象與x軸相切．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若x＞1時，f（x）＞mx²，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，設出切點的坐標，得到方程組，求出a的值，從而求出函數的單調區間即可；
（2）問題轉化為m＜$\frac{{e}^{x}-（x+1）}{{x}^{2}}$，記g（x）=$\frac{{e}^{x}-（x+1）}{{x}^{2}}$，x＞1，結合函數的單調性求出m的具體范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，依題意，設切點為（b，0），
則 $\left\{\begin{array}{l}{f（b）=0}\\{f′（b）=0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{{e}^{b}-a（b+1）=0}\\{{e}^{b}-a=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=1}\end{array}\right.$，
所以f′（x）=e^x-1，
所以，當x＜0時，f′（x）＜0；當x＞0時，f′（x）＞0．
所以，f（x）的單調遞減區間為（-∞，0），單調遞增區間為（0，+∞）．
（2）∵x＞1時，f（x）＞mx²，即e^x-（x+1）＞mx²，
∴m＜$\frac{{e}^{x}-（x+1）}{{x}^{2}}$，
記g（x）=$\frac{{e}^{x}-（x+1）}{{x}^{2}}$，x＞1，
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）+x+2}{{x}^{3}}$，
記h（x）=e^x（x-2）+x+2，
則h′（x）=e^x（x-1）+1，
∵x＞1時，h′（x）＞0，
∴y=h（x）在（1，+∞）遞增，
∴x＞1時，h（x）＞h（1）=3-e＞0，
記g′（x）＞0，
∴y=g（x）在（1，+∞）遞增，
∴x＞1時，g（x）＞g（1）=e-2，
∴m≤e-2．

點評 本小題主要考查導數的幾何意義、函數的單調性、導數及其應用、不等式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力等，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、數形結合思想等．