Question

8．已知函數F（x）=g（x）+h（x）=e^x，且g（x），h（x）分別是R上的偶函數和奇函數，若對任意的x∈（0，+∞），不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，2$\sqrt{2}$]
• B． （-∞，2$\sqrt{2}$）
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 根據函數奇偶性的性質利用方程組法即可求f（x）和g（x）的解析式；根據不等式恒成立進行轉化，利用一元二次不等式的性質即可得到結論．

解答 解：∵函數F（x）=e^x滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數和奇函數，
∴g（-x）=g（x），h（-x）=-h（x）
∴e^x =g（x）+h（x），e^-x=g（x）-h（x），
∴g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，h（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$．
∵?x∈（0，+∞），使得不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，即$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$≥a•$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$恒成立，
∴a≤$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$=（e^x-e^-x）+$\frac{2}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，
設t=e^x-e^-x，則函數t=e^x-e^-x在（0，+∞）上單調遞增，
∴0＜t，
此時 不等式t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{2}$，當且僅當t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$時，取等號，∴a≤2$\sqrt{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查函數的奇偶性的應用以及不等式恒成立問題，根據奇偶性的定義利用方程組法是解決本題的關鍵．