Question

16．已知函數y=f（x）的定義域為（0，+∞），當x＞1時f（x）＞0，對任意的x，y∈（0，+∞），f（x）+f（y）=f（x•y）成立，若數列{a_n）滿足a₁=f（1），且f（a_n+1）=f（2a_n+1），n∈N^*，則a₂₀₁₇的值為（　　）

• A． 2²⁰¹⁴-1
• B． 2²⁰¹⁵-1
• C． 2²⁰¹⁶-1
• D． 2²⁰¹⁷-1

Answer 1

分析 當x＞1時f（x）＞0．在（0，+∞）上任取兩數x₁，x₂，且x₁＜x₂，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=k，則f（k）＞0．可得f（x₂）＞f（x₁）f（x）在（0，+∞）上是單調增函數．令x=y=1，則f（1）+f（1）=f（1），解得f（1）．數列{a_n）滿足a₁=f（1）=0，由f（a_n+1）=f（2a_n+1），n∈N^*，利用單調性可得a_n+1=2a_n+1，變形為：a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比數列的通項公式即可得出．

解答 解：當x＞1時f（x）＞0．在（0，+∞）上任取兩數x₁，x₂，且x₁＜x₂，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=k，則f（k）＞0．
∴f（x₂）=f（kx₁）=f（k）+f（x₁）＞f（x₁）∴f（x）在（0，+∞）上是單調增函數．
令x=y=1，則f（1）+f（1）=f（1），解得f（1）=0．
數列{a_n）滿足a₁=f（1）=0，
∵f（a_n+1）=f（2a_n+1），n∈N^*，
∴a_n+1=2a_n+1，
變形為：a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數列{a_n+1}是等比數列，公比為2，首項為1．
則a₂₀₁₇+1=2²⁰¹⁶，因此a₂₀₁₇=2²⁰¹⁶-1，
故選：C．

點評 本題考查了抽象函數的單調性、數列遞推關系、等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．