Question

19．平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=4，AD=2．若P為CD邊上一點，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為-1．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，建系求出A，B的坐標，設出P的坐標，得到$\overrightarrow{PA}、\overrightarrow{PB}$的坐標，代入數量積的坐標表示化為關于m的函數得答案．

解答 解：如圖，

以AB所在直線為x軸，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，
則A（0，0），B（4，0），
設P（m，$\sqrt{3}$），（1≤m≤5），
則$\overrightarrow{PA}=（-m，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{PB}=（4-m，-\sqrt{3}）$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-m（4-m）+3=m²-4m+3=（m-2）²-1，
∴當m=2時，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了利用配方法求二次函數的最值，是中檔題．